Czy wiesz, że gdyby powiększyć komara bilion razy, byłby 50 razy większy od Słońca? A że w ciągu 0,001 sekundy Ziemia przemierza dystans 30 metrów? Od zagadkowych pierścieni Boromeuszów, przez magiczny trójkąt Pascala, aż po fascynujące fakty o czasie i przestrzeni – zapraszamy do świata matematycznych cudów. Odkryj niesamowite zależności liczbowe ukryte w piramidzie Cheopsa, poznaj tajemnice węzłów matematycznych i przekonaj się, że zwykły 60-latek w ciągu swojego życia pokonuje dystans równy odległości Ziemi od Księżyca. To niezwykła podróż przez świat liczb, proporcji i zaskakujących faktów, które zmienią Twoje spojrzenie na otaczającą rzeczywistość.
W świecie matematyki i fizyki kryją się fascynujące tajemnice, które potrafią zaskoczyć nawet najbardziej sceptycznych obserwatorów. Od starożytnych zagadek geometrycznych po współczesne obliczenia, od mikroskopijnych ułamków sekund po kosmiczne odległości – matematyka nieustannie udowadnia, że rzeczywistość potrafi być bardziej zdumiewająca niż najbardziej fantastyczne opowieści.
Matematyka często jest postrzegana jako zbiór suchych wzorów i nudnych obliczeń. Nic bardziej mylnego! To fascynujący świat pełen zagadek, niespodziewanych związków i zjawisk, które potrafią wprawić w osłupienie. Od tajemniczych pierścieni, których nie można rozdzielić, przez magiczne właściwości liczb w trójkącie Pascala, aż po zdumiewające proporcje starożytnych budowli – matematyka nieustannie pokazuje nam, że pod pozornie prostymi równaniami kryją się fascynujące historie i nieoczekiwane powiązania. Wyruszmy więc w podróż przez świat liczb, kształtów i proporcji, by odkryć jego najbardziej intrygujące tajemnice.
1. Pierścienie Boromeuszów
Znany symbol renesansowego włoskiego rodu Boromeuszów to trzy splecione pierścienie, których nie można rozłączyć, nie rozrywając ich. Gdy jednak przetniemy którykolwiek z nich, pozostałe dwa się rozpadną. Oto (nietypowy) obrazek pierścieni Boromeuszów:
Co ciekawe, w podobny sposób – to znaczy tak, że usunięcie jednego z pierścieni powoduje, iż pozostałe nie są już trwale splecione – można łączyć większe liczby pierścieni. Oto przykłady:
Wszelkie tego typu obiekty, utworzone z kilku trwale połączonych (i być może rozmaicie poplątanych) pierścieni, matematyk nazywa splotami. Oczywiście, nie każdy splot ma tę własność, że usunięcie jednego ogniwa wystarczy do rozłączenia wszystkich pozostałych. Wystarczy przywołać na myśl zwyczajny łańcuch.
2. Trójkąt Pascala
W matematyce zdarzają się trójkąty zbudowane z… liczb. Przykładem jest trójkąt Pascala, utworzony z liczb naturalnych zgodnie z następującymi regułami:
w najwyższym wierszu wpisujemy jedynkę;
w drugim wierszu od góry – dwie jedynki;
w trzecim wierszu kolejno 1, 2, 1;
w każdym następnym wierszu o jedną liczbę więcej, niż w poprzednim; na lewym i prawym skraju jedynki, a na każdym innym miejscu – liczbę, która jest sumą dwóch liczb widniejących w poprzednim wierszu bezpośrednio nad nią.
Oto pierwszych sześć wierszy trójkąta Pascala:
Liczby widniejące w n + 1 wierszu trójkąta są współczynnikami rozwinięcia n-tej potęgi dwumianu. W czwartym wierszu, na przykład, stoją: 1, 3, 3, 1, a trzecia potęga, czyli sześcian dwumianu, dany jest wzorem:
Wybierzmy jakąś liczbę i pokolorujmy trójkąt Pascala tak, by wszystkie liczby dające tę samą resztę z dzielenia przez wybraną liczbę miały taką samą barwę. Otrzymamy wówczas ciekawe desenie. Oto obrazki, które powstają, gdy kolorujemy kilkadziesiąt początkowych wierszy trójkąta Pascala tak, by uwidocznić reszty z dzielenia przez 4, 5, 7, 11 i 12. (Nietrudno zgadnąć, który obrazek odpowiada której liczbie).
3. Twierdzenie Pitagorasa
Nawet najwięksi szkolni słabeusze wiedzą pod koniec podstawówki, że w każdym trójkącie prostokątnym kwadrat długości najdłuższego boku (przeciwprostokątnej) jest sumą kwadratów długości dwóch pozostałych boków (przyprostokątnych). Dlaczego? To proste:
Z czterech jednakowych trójkątów i dwóch mniejszych kolorowych kwadratów można ułożyć duży kwadrat (środkowy rysunek). Ten sam duży kwadrat da się ułożyć z czterech trójkątów, doklejonych do czterech boków żółtego kwadratu. To zaś oznacza, że pole żółtego kwadratu jest równe sumie pól kwadratów niebieskiego i zielonego.
4. Węzły
Węzeł to dla matematyka obiekt, który uzyskujemy z zaplątanego kawałka sznurka po złączeniu (trwałym sklejeniu) obu końców. Dwa węzły uznajemy za różne nie wtedy, gdy już na pierwszy rzut oka wyglądają inaczej, lecz dopiero wówczas, kiedy za pomocą najróżniejszego przemieszczania sznurka w przestrzeni – plątania, przewlekania, rozsupływania itd. (jedyne niedozwolone chwyty to rozcinanie sznurka i rozłączanie jego sklejonych końców) – nie da się w żaden sposób jednego z nich zmienić w drugi. Najprostszym węzłem jest trójlistnik:
A oto kilka bardziej skomplikowanych węzłów:
Modele węzłów można konstruować, łącząc odcinkami punkty tworzące regularną sieć, złożoną z wierzchołków jednakowych, ustawionych równymi rzędami sześciennych klocków (matematyk powie krótko: punkty kratowe w przestrzeni). Oto model trójlistnika zbudowany z takich odcinków:
Łamana przechodzi przez 24 punkty kratowe. Tej liczby nie da się zmniejszyć. Z łamanej przebiegającej tylko przez 24 punkty kratowe nie można też wykonać modelu żadnego węzła, który nie byłby trójlistnikiem.
Piramida Cheopsa jest największym na świecie ostrosłupem prawidłowym czworokątnym. Ma 146m wysokości, a krawędź jej podstawy wynosi 230m. Na zbudowanie tej piramidy zużyto 2 300 000 bloków granitowych o ciężarze od 2,5 t do 15t. Gdyby z tego materiału zbudować mur o wysokości 3m i grubości 25cm to opasałby on całą Polskę. W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenienie pi z dokładnością czterech miejsc po przecinku.
5. Piramida Cheopsa jest największym na świecie ostrosłupem prawidłowym czworokątnym. Ma 146m wysokości, a krawędź jej podstawy wynosi 230m. Na zbudowanie tej piramidy zużyto 2 300 000 bloków granitowych o ciężarze od 2,5 t do 15t. Gdyby z tego materiału zbudować mur o wysokości 3m i grubości 25cm to opasałby on całą Polskę. W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenienie pi z dokładnością czterech miejsc po przecinku.
6. Ułamki 1/2 , 1/3 , 1/4 , 1/5 … nazywamy ułamkami egipskimi.
Jak duży jest milion?
Włos ludzki powiększony na grubość milion razy, będzie miał w średnicy 70 metrów.
Komar powiększony milion razy będzie miał 5 kilometrów długości.
Zwykły zegarek kieszonkowy powiększony milion razy będzie miał 50 kilometrów średnicy.
Człowiek powiększony milion razy będzie miał 1700 kilometrów wzrostu.
Milion ludzi, ustawionych ramię przy ramieniu, zajmie całe wybrzeże polskie (około 500 km).
Milion kroków to podróż z Warszawy do Poznania i z powrotem.
Książka o milionie stronic miałaby grubość równą 50 m.
Od początku naszej ery nie upłynął jeszcze pierwszy milion dni; stanie się to za około 800 lat!
A bilion?
Włos ludzki powiększony bilion razy byłby 6-krotnie grubszy od globu ziemskiego.
Komar powiększony bilion razy byłby 50 razy większy od Słońca.
Milion sekund upływa w niespełna dwa tygodnie, ale bilion sekund to ponad 30 000 lat!
Czy wiesz, że:
Każde dziecko w ciągu 5 lat i kilku miesięcy odbywa jakby podróż dookoła świata, bo przejdzie w tym czasie około 40 000 km.
Człowiek 60 letni ma za sobą drogę równą odległości Ziemi od Księżyca, tj. 384 000 km.
Co może się zdarzyć w ciągu 0,001 sekundy?
Pociąg jadący z prędkością 36 km na godzinę przejedzie 1 cm.
Samolot przeleci 10 cm.
Głos przebywa 33 cm.
Kula z pistoletu 70 cm.
Ziemia przebywa 30 metrów.
Błyskawica nierzadko trwa krócej a rozciąga się na wiele kilometrów.
Wędrówka przez świat matematycznych cudów pokazuje nam, że liczby to znacznie więcej niż tylko narzędzia do prowadzenia obliczeń. To klucz do zrozumienia otaczającej nas rzeczywistości, od mikroskopijnych ułamków sekund po kosmiczne odległości. Matematyczne prawidłowości odnajdujemy zarówno w starożytnych piramidach, jak i w najbardziej zaawansowanych odkryciach współczesnej nauki. Być może właśnie dlatego Galileusz powiedział, że „matematyka jest alfabetem, za pomocą którego Bóg opisał wszechświat”. Patrząc na fascynujące właściwości liczb, trudno się z nim nie zgodzić. W świecie, gdzie wszystko wydaje się policzalne i przewidywalne, matematyka wciąż potrafi nas zaskakiwać, pokazując swoje magiczne i tajemnicze oblicze.
Piotr Klimasz
